Мне нужна библиотека на основе php (предпочтительно), такая как loginWithBitbucket.php, чтобы я отправлял ей запрос на авторизацию, и он авторизует пользователя bitbucket, открывая новую вкладку и запрашивая учетные данные для входа в систему пользователя, и выполняет авторизацию, а затем возвращает данные ответа. т.е. данные JSON как ответ на запрос ajax.
Есть библиотека для node.js а также один для PHP. Оба были просто быстрый поиск Google. Вы обязательно должны использовать Google, если вы ищете библиотеку в следующий раз.
Oauth.io — одна из таких библиотек. Его очень легко использовать.