Как на чистом JavaScript добавить / удалить класс элемента?

Добавить класс:

document.getElementById("MyElement").className += " my-class";

Удалить класс:

document.getElementById("MyElement").className = document.getElementById("MyElement").className.replace( /(?:^|\s)MyClass(?!\S)/ , '''' );

В новых браузерах работает такой подход:

document.getElementById(''id'').classList.add(''class'');
document.getElementById(''id'').classList.remove(''class'');