Самый эффективный способ расчета лексикографического индекса

Линейный обход памяти, уже находящейся в кеше, на самом деле совсем не занимает много времени. Не беспокойся об этом. Вы не пройдете достаточное расстояние до того, как factorial () переполнится.

Переместить 8 в качестве параметра.

int factorial ( int input )
{
return input ? input * factorial (input - 1) : 1;
}

int lexic_ix ( int* arr, int N )
{
int output = 0;
int fact = factorial (N);
for ( int i = 0; i < N - 1; i++ )
{
int order = arr [ i ];
for ( int j = 0; j < i; j++ )
order -= arr [ j ] < arr [ i ];
output += order * (fact /= N - i);
}
return output;
}

int main()
{
int arr [ ] = { 11, 10, 9, 8, 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 };

const int length = 12;
for ( int i = 0; i < length; ++i )
std::cout << lexic_ix ( arr + i, length - i  ) << std::endl;
}

Скажем, для перестановки последовательностей из М-цифр из вашего кода вы можете получить лексикографическую формулу SN, которая выглядит примерно так: Am-1 * (m-1)! + Ам-2 * (м-2)! + … + A0 * (0)! где Aj находится в диапазоне от 0 до j. Вы можете вычислить SN из A0 * (0) !, затем A1 * (1) !, …, затем Am-1 * (m-1) !, и сложить их вместе (предположим, что ваш целочисленный тип не переполняется), поэтому вам не нужно вычислять факториалы рекурсивно и многократно. Номер SN находится в диапазоне от 0 до M! -1 (потому что Sum (n * n !, n в 0,1, … n) = (n + 1)! — 1)

Если вы не рассчитываете факториалы рекурсивно, я не могу придумать ничего, что могло бы значительно улучшить ситуацию.

Извините за публикацию кода с небольшим опозданием, я только что провел небольшое исследование и нашел это:
http://swortham.blogspot.com.au/2011/10/how-much-faster-is-multiplication-than.html
Согласно этому автору, целочисленное умножение может быть в 40 раз быстрее, чем целочисленное деление. Плавающие числа не так уж драматичны, но здесь есть целое число.

int lexic_ix ( int arr[], int N )
{
// if this function will be called repeatedly, consider pass in this pointer as parameter
std::unique_ptr<int[]> coeff_arr = std::make_unique<int[]>(N);
for ( int i = 0; i < N - 1; i++ )
{
int order = arr [ i ];
for ( int j = 0; j < i; j++ )
order -= arr [ j ] < arr [ i ];
coeff_arr[i] = order; // save this into coeff_arr for later multiplication
}
//
// There are 2 points about the following code:
// 1). most modern processors have built-in multiplier, \
//    and multiplication is much faster than division
// 2). In your code, you are only the maximum permutation serial number,
//     if you put in a random sequence, say, when length is 10, you put in
//     a random sequence, say, {3, 7, 2, 9, 0, 1, 5, 8, 4, 6}; if you look into
//     the coeff_arr[] in debugger, you can see that coeff_arr[] is:
//     {3, 6, 2, 6, 0, 0, 1, 2, 0, 0}, the last number will always be zero anyway.
//     so, you will have good chance to reduce many multiplications.
//     I did not do any performance profiling, you could have a go, and it will be
//     much appreciated if you could give some feedback about the result.
//
long fac = 1;
long sn = 0;
for (int i = 1; i < N; ++i) // start from 1, because coeff_arr[N-1] is always 0
{
fac *= i;
if (coeff_arr[N - 1 - i])
sn += coeff_arr[N - 1 - i] * fac;
}
return sn;
}

int main()
{
int arr [ ] = { 3, 7, 2, 9, 0, 1, 5, 8, 4, 6 }; // try this and check coeff_arr

const int length = 10;
std::cout << lexic_ix(arr, length ) << std::endl;
return 0;
}

Это весь код профилирования, я запускаю тест только в Linux, код был скомпилирован с использованием G ++ 8.4, с опциями компилятора ‘-std = c ++ 11 -O3’. Если честно, я немного переписал твой код, предварительно рассчитав N! и передать его в функцию, но, похоже, это не очень помогает.

Профилирование производительности для N = 9 (362880 перестановок):

• Продолжительность времени: 34, 30, 25 миллисекунд
• Продолжительность времени: 34, 30, 25 миллисекунд
• Продолжительность времени: 33, 30, 25 миллисекунд

Профилирование производительности для N = 10 (3628800 перестановок):

• Продолжительность времени: 345, 335, 275 миллисекунд.
• Продолжительность времени: 348, 334, 275 миллисекунд
• Продолжительность времени: 345, 335, 275 миллисекунд.

Первое число — ваша исходная функция, второе — переписанная функция, которая получает N! прошло, последний номер мой результат. Функция генерации перестановок очень примитивна и работает медленно, но до тех пор, пока она генерирует все перестановки в качестве тестового набора данных, это нормально. Кстати, эти тесты выполняются на Quad-Core 3,1 ГГц, 4 ГБ на рабочем столе под управлением Ubuntu 14.04.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я забыл фактор, что первой функции может потребоваться расширить вектор lexi_numbers, поэтому я поставил пустой вызов до времени. После этого времена составляют 333, 334, 275.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Еще один фактор, который может повлиять на производительность, я использую длинное целое число в моем коде, если я изменю эти 2 «длинные» на 2 «int», время выполнения станет: 334, 333, 264.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <chrono>
using namespace std::chrono;

int factorial(int input)
{
return input ? input * factorial(input - 1) : 1;
}

int lexic_ix(int* arr, int N)
{
int output = 0;
int fact = factorial(N);
for (int i = 0; i < N - 1; i++)
{
int order = arr[i];
for (int j = 0; j < i; j++)
order -= arr[j] < arr[i];
output += order * (fact /= N - i);
}
return output;
}

int lexic_ix1(int* arr, int N, int N_fac)
{
int output = 0;
int fact = N_fac;
for (int i = 0; i < N - 1; i++)
{
int order = arr[i];
for (int j = 0; j < i; j++)
order -= arr[j] < arr[i];
output += order * (fact /= N - i);
}
return output;
}

int lexic_ix2( int arr[], int N , int coeff_arr[])
{
for ( int i = 0; i < N - 1; i++ )
{
int order = arr [ i ];
for ( int j = 0; j < i; j++ )
order -= arr [ j ] < arr [ i ];
coeff_arr[i] = order;
}
long fac = 1;
long sn = 0;
for (int i = 1; i < N; ++i)
{
fac *= i;
if (coeff_arr[N - 1 - i])
sn += coeff_arr[N - 1 - i] * fac;
}
return sn;
}

std::vector<std::vector<int>> gen_permutation(const std::vector<int>& permu_base)
{
if (permu_base.size() == 1)
return std::vector<std::vector<int>>(1, std::vector<int>(1, permu_base[0]));

std::vector<std::vector<int>> results;
for (int i = 0; i < permu_base.size(); ++i)
{
int cur_int = permu_base[i];
std::vector<int> cur_subseq = permu_base;
cur_subseq.erase(cur_subseq.begin() + i);
std::vector<std::vector<int>> temp = gen_permutation(cur_subseq);
for (auto x : temp)
{
x.insert(x.begin(), cur_int);
results.push_back(x);
}
}
return results;
}

int main()
{
#define N 10
std::vector<int> arr;
int buff_arr[N];
const int length = N;
int N_fac = factorial(N);
for(int i=0; i<N; ++i)
arr.push_back(N-i-1); // for N=10, arr is {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0}
std::vector<std::vector<int>> all_permus = gen_permutation(arr);

std::vector<int> lexi_numbers;
// This call is not timed, only to expand the lexi_numbers vector
for (auto x : all_permus)
lexi_numbers.push_back(lexic_ix2(&x[0], length, buff_arr));

lexi_numbers.clear();
auto t0 = high_resolution_clock::now();
for (auto x : all_permus)
lexi_numbers.push_back(lexic_ix(&x[0], length));
auto t1 = high_resolution_clock::now();
lexi_numbers.clear();
auto t2 = high_resolution_clock::now();
for (auto x : all_permus)
lexi_numbers.push_back(lexic_ix1(&x[0], length, N_fac));
auto t3 = high_resolution_clock::now();
lexi_numbers.clear();
auto t4 = high_resolution_clock::now();
for (auto x : all_permus)
lexi_numbers.push_back(lexic_ix2(&x[0], length, buff_arr));
auto t5 = high_resolution_clock::now();

std::cout << std::endl << "Time durations are: " << duration_cast<milliseconds> \
(t1 -t0).count() << ", " << duration_cast<milliseconds>(t3 - t2).count() << ", " \
<< duration_cast<milliseconds>(t5 - t4).count() <<" milliseconds" << std::endl;
return 0;
}