Ряд Тейлора Разница между exp (-x) и exp (+ x)

Я не думаю, что это на самом деле связано с ошибкой аппроксимации с плавающей запятой, я думаю, что есть еще один более значительный источник ошибок.

Как вы говорите сами, ваш метод действительно прост. Вы принимаете приближение ряда Тейлора в x=0 к этой функции, а затем оценивая ее в x=-100,

Насколько точным вы ожидали, что этот метод будет и почему?

На высоком уровне вы должны ожидать, что ваш метод будет точным только в узкой области вблизи x=0, Теорема Тейлора об аппроксимации говорит вам, что, например, если вы берете N условия серии вокруг x=0ваше приближение будет с точностью до O(|x|)^(N+1) по крайней мере. Таким образом, если вы берете 200 терминов, вы должны быть точными, например, к. в 10^(-60) или около того в диапазоне [-0.5, 0.5], Но в x=100 Теорема Тейлора дает вам довольно ужасную оценку.

Концептуально, вы знаете, что e^{-x} стремится к нулю как x уходит в минус бесконечность. Но ваша аппроксимационная функция — это многочлен с фиксированной степенью, и любой непостоянный многочлен имеет тенденцию к асимптотической зависимости плюс бесконечность или минус бесконечность. Таким образом, относительная ошибка должна быть неограниченной, если учитывать весь диапазон возможных значений x,

Короче говоря, я думаю, что вы должны переосмыслить свой подход. Одна вещь, которую вы могли бы рассмотреть, это использовать только метод рядов Тейлора для x ценности, удовлетворяющие -0.5f <= x <= 0.5f, И для любого x лучше чем 0.5fпопробуйте разделить x на два и вызывая функцию рекурсивно, затем возводя в квадрат результат. Или как то так.

Для достижения наилучших результатов вам, вероятно, следует использовать установленный метод.

Редактировать:

Я решил написать код, чтобы увидеть, насколько хорошо работает моя идея. Похоже, что он идеально соответствует реализации библиотеки C во всем диапазоне x = -10000 в x = 10000 по крайней мере, настолько, насколько я показываю. 🙂

Обратите внимание, что мой метод точен даже для значений x больше 100, где метод ряда Тейлора фактически теряет точность и на положительном конце.

#include <cmath>
#include <iostream>

long double taylor_series(long double x)
{
long double sum = 1.0, last = 1.0;

for(int i = 1; i < 200; i++) {
last *= x / i;    //multiply the last term in the series from the previous term by x/n
sum += last; //add this new last term to the sum
}

return sum;
}

long double hybrid(long double x)
{
long double temp;
if (-0.5 <= x && x <= 0.5) {
return taylor_series(x);
} else {
temp = hybrid(x / 2);
return (temp * temp);
}
}

long double true_value(long double x) {
return expl(x);
}

void output_samples(long double x) {
std::cout << "x = " << x << std::endl;
std::cout << "\ttaylor series = " << taylor_series(x) << std::endl;
std::cout << "\thybrid method = " << hybrid(x) << std::endl;
std::cout << "\tlibrary = " << true_value(x) << std::endl;
}

int main() {
output_samples(-10000);
output_samples(-1000);
output_samples(-100);
output_samples(-10);
output_samples(-1);
output_samples(-0.1);
output_samples(0);
output_samples(0.1);
output_samples(1);
output_samples(10);
output_samples(100);
output_samples(1000);
output_samples(10000);
}

Выход:

$ ./main
x = -10000
taylor series = -2.48647e+423
hybrid method = 1.13548e-4343
library = 1.13548e-4343
x = -1000
taylor series = -2.11476e+224
hybrid method = 5.07596e-435
library = 5.07596e-435
x = -100
taylor series = -8.49406e+24
hybrid method = 3.72008e-44
library = 3.72008e-44
x = -10
taylor series = 4.53999e-05
hybrid method = 4.53999e-05
library = 4.53999e-05
x = -1
taylor series = 0.367879
hybrid method = 0.367879
library = 0.367879
x = -0.1
taylor series = 0.904837
hybrid method = 0.904837
library = 0.904837
x = 0
taylor series = 1
hybrid method = 1
library = 1
x = 0.1
taylor series = 1.10517
hybrid method = 1.10517
library = 1.10517
x = 1
taylor series = 2.71828
hybrid method = 2.71828
library = 2.71828
x = 10
taylor series = 22026.5
hybrid method = 22026.5
library = 22026.5
x = 100
taylor series = 2.68812e+43
hybrid method = 2.68812e+43
library = 2.68812e+43
x = 1000
taylor series = 3.16501e+224
hybrid method = 1.97007e+434
library = 1.97007e+434
x = 10000
taylor series = 2.58744e+423
hybrid method = 8.80682e+4342
library = 8.80682e+4342

Редактировать:

Для кого это интересно:

В комментариях был задан вопрос о том, насколько значительны ошибки с плавающей запятой в исходной программе. Мое первоначальное предположение состояло в том, что они были незначительными — я сделал тест, чтобы проверить, правда это или нет. Оказывается, это не так, и происходит значительная ошибка с плавающей запятой, но даже без ошибок с плавающей запятой существуют существенные ошибки, вносимые только одной серией Тейлора. Истинное значение ряда Тейлора на 200 членов в x=-100 кажется, близко к -10^{24}не 10^{-44}, Я проверил это с помощью boost::multiprecision::cpp_rational, который является рациональным типом произвольной точности, построенным на их целочисленном типе произвольной точности.

Выход:

x = -100
taylor series (double) = -8.49406e+24
(rational) = -18893676108550916857809762858135399218622904499152741157985438973568808515840901824148153378967545615159911801257288730703818783811465589393308637433853828075746484162303774416145637877964256819225743503057927703756503421797985867950089388433370741907279634245166982027749118060939789786116368342096247737/2232616279628214542925453719111453368125414939204152540389632950466163724817295723266374721466940218188641069650613086131881282494641669993119717482562506576264729344137595063634080983904636687834775755173984034571100264999493261311453647876869630211032375288916556801211263293563
= -8.46257e+24
library                = 3.72008e-44
x = 100
taylor series (double) = 2.68812e+43
(rational) = 36451035284924577938246208798747009164319474757880246359883694555113407009453436064573518999387789077985197279221655719227002367495061633272603038249747260895707250896595889294145309676586627989388740458641362406969609459453916777341749316070359589697827702813520519796940239276744754778199440304584107317957027129587503199/1356006206645357299077422810994072904566969809700681604285727988319939931024001696953196916719184549697395496290863162742676361760549235149195411231740418104602504325580502523311497039304043141691060121240640609954226541318710631103275528465092597490136227936213123455950399178299
= 2.68812e+43
library                = 2.68812e+43

Код:

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <boost/multiprecision/cpp_int.hpp>

typedef unsigned int uint;
typedef boost::multiprecision::cpp_rational rational;

// Taylor series of exp

template <typename T>
T taylor_series(const T x) {
T sum = 1, last = 1;

for (uint i = 1; i < 200; i++) {
last = last * (x / i);
sum = sum + last;
}
return sum;
}

void sample(const int x) {
std::cout << "x = " << x << std::endl;
long double e1 = taylor_series(static_cast<long double>(x));
std::cout << "\ttaylor series (double) = " << e1 << std::endl;
rational e2 = taylor_series(static_cast<rational>(x));
std::cout << "\t            (rational) = " << e2 << std::endl;
std::cout << "\t                       = " << static_cast<long double>(e2) << std::endl;
std::cout << "\tlibrary                = " << expl(static_cast<long double>(x)) << std::endl;
}

int main() {
sample(-100);
sample(100);
}