Можно ли как-то установить номер значка приложения с помощью Qt?
Это пока не поддерживается в Ubuntu, но здесь вы можете найти версию для Mac:
void QtMac :: setApplicationIconBadgeNumber (int number)
Вы можете включить это дополнение, поместив его в файл проекта qmake:
QT += macextras
Вопрос немного сбивает с толку, потому что вы используете терминологию OS X, но у вас есть скриншот из Ubuntu Unity. Терминология Unity здесь будет означать «Количество запускающих», а не «номер значка».
Насколько я знаю на данный момент, в Ubuntu нет идеального способа сделать это из приложения Qt. Но у вас есть два варианта: