Посмотреть матрицу из Quaternion

Сначала несколько предостережений. Вы увидите множество явно противоречивых формул в сети и в литературе по этому вопросу. Большинство конфликтов очевидны только. Некоторые из них являются настоящими конфликтами, но это потому, что кто-то неправильно понял математику. Проблема в том, что не существует единственно правильного способа сделать это. Вам необходимо знать, как вы используете кватернионы и матрицы, как их использует источник и как исправить эти очевидные расхождения.

Вращение против преобразования
С вашей камерой связана система отсчета, а также базовое пространство. Представляет ли ваша матрица физическое вращение камеры из нижележащего пространства в ориентацию камеры или матрицу, которая преобразует векторы, представленные в нижележащем пространстве, в кадр камеры? (Или что-то еще; здесь есть четыре варианта.) Эти варианты связаны; Матрица преобразования — это транспонирование матрицы вращения. Преобразование и вращение являются сопряженными операциями. То же самое относится и к кватернионам. Используете ли вы кватернионы преобразования или вращение кватернионов? Это опять связанные понятия; одно сопряжено с другим.

Левый или правый кватернионы
Учитывая единицу кватерниона Q преобразовать или повернуть вектор v, некоторое использование qvq^* чтобы преобразовать / повернуть вектор, другие используют Q^*VQ. Какая форма правильная? Оба. Эти две формы отличаются только тем, находится ли неконъюгированный кватернион слева (qvq^*) или вправо (Q^*VQ) вектора, который будет преобразован / повернут.

Столбец и векторы строки
Большинство людей используют векторы столбцов, но некоторые используют векторы строк. Здесь вы столкнетесь с левой или правой проблемой с матрицами. Векторы столбцов преобразуются / вращаются с помощью милливольт, с матрицей слева от векторов; векторы строки через Vm, с матрицей справа.

Влияние
Вы должны быть осторожны при чтении литературы. Что касается формирования матрицы из кватерниона, вам нужно следить за изменениями знака при построении недиагональных элементов матрицы. Сложение / вычитание одного состава может измениться на вычитание / сложение в другом составе.

Левые преобразования кватернионов в матрицы преобразования векторов строк
Я использую левые кватернионы преобразования и матрицы преобразования, и я представляю векторы как векторы строк. Я также представляю кватернион Q в составе реальной скалярной части Q_s и векторная мнимая часть Q_v. Учитывая эти представления, вычисления для генерации матрицы из кватерниона (псевдокод):

// Compute the cosine of the rotation angle.
cost = 2.0*qs*qs - 1.0;

// Construct the diagonal of the matrix:
// T_ii = cost + 2qv_i^2
for (i = 0; i < 3; ++i) {
T[i][i] = cost + 2.0*qv[i]*qv[i];
}

// Construct off-diagonal transformation matrix elements:
//   T_ij = 2 (qv_i qv_j - eps_ijk qs qv_k), where eps is the Levi-Civita symbol
for (k = 0; k < 3; ++kk) {
i = (k+1)%3;
j = (i+1)%3;
T[i][j] = 2.0*(qv[i]*qv[j] - qs*qv[k]);
T[j][i] = 2.0*(qv[i]*qv[j] + qs*qv[k]);
}

Возможно, вы захотите расширить эти петли. Первый цикл расширяется на три утверждения, последнее — на шесть. Вам не нужно вычислять я а также J в расширении последнего цикла; расширение цикла делает их фиксированными величинами.

Альтернативные представления
Эти предостережения выше не так плохи, как кажутся. Вы должны убедиться, что мое представление соответствует вашему. Шансы 50-50, что это не так. Если это не так, просто поменяйте местами недиагональные элементы. Используйте вычисление T[i][j] за T[j][i], и наоборот. Как сказать:

• Начать с s= 1.
• Умножение s на -1, если вы используете кватернионы вращения вместо кватернионов преобразования.
• Умножение s на -1, если вы используете правые кватернионы вместо левых кватернионов.
• Умножение s на -1, если вы используете матрицы вращения вместо матриц преобразования.
• Умножение s на -1, если вы используете векторы строк вместо векторов столбцов.

Используйте мою формулировку, если окончательное значение s 1. Если это -1, просто поменяйте местами назначения T[i][j] а также T[j][i], Или вы можете изменить сложение на вычитание, вычитание на сложение.

Один последний гоча
Приведенный выше расчет применяется, когда скалярная часть не близка к нулю. Это было бы справедливо везде, если бы у нас была арифметика с бесконечной точностью. Возможно, вы захотите использовать отдельный расчет для поворотов, которые очень близки к нулю или 180 градусов.