Получение inf в разложении Тейлора для e ^ x, но только для небольших границ ошибок

Я пишу программу для приближения экспоненциальной функции, но я столкнулся с проблемой. Для небольших значений err программа запутывается и просто зацикливается навсегда, каждый раз получая приближения inf. Программа кажется нетерпимой к большим и большим ошибкам, поскольку больше xвведены. Это хорошо работает, скажем, x=1 а также err=10e-5, Как пример того, когда это не работает: x=3 работает нормально до err=10e-4 но когда err=10e-5 это приводит к инф.

//This program approximates e^x at a given x to a given accuracy
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
using namespace std;
inline void keep_window_open() {char ch; cin >> ch;}
class bad_entry{};
int fac(int a) //function to find factorial
{
int f=1; //covers 0!
for(int w=0; w<a; ++w)
{
f*=(a-w);
}
return f;
}
int main()
{
try
{
double x=0;
double ans=0;
double err=0;
int n=0;
cout << "What number do you want to expand around?\n";
cin >> x;
if(!cin){throw bad_entry{};}
cout << "What would you like the error to be within?\n";
cin >> err;
if(!cin){throw bad_entry{};}
double actual=exp(x);
while(n>=0)
{
ans += pow(x,n)/fac(n);
cout << "n=" << n << '\t' << "Approx: " << ans << '\t' << "Erro: " << abs(actual-ans) << '\n';
if(abs(actual-ans)<err)
{
keep_window_open();
return 0;
}
++n;
}
}
catch(bad_entry)
{
cout << "\nINVALID ENTRY\n";
return 0;
}
}