Подразделение Ньютона-Рафсона с большими целыми числами

Я делаю класс BigInt как упражнение по программированию. В base-65536 он использует вектор 2-х знаковых дополнений со знаком (так, чтобы 32-битные умножения не переполнялись. Я увеличу базу, как только получу ее полностью работоспособной).

Все основные математические операции закодированы, с одной проблемой: деление болезненно медленно с основным алгоритмом, который я смог создать. (Это работает как двоичное деление для каждой цифры отношения … Я не собираюсь публиковать это, если кто-то не хочет видеть это ….)

Вместо моего медленного алгоритма я хочу использовать Ньютона-Рафсона, чтобы найти (смещенное) обратное и затем умножить (и сместить). Я думаю, у меня есть голова вокруг основы: вы даете формулу (x1 = x0 (2 — x0 * делитель)) хорошее начальное предположение, а затем после некоторого количества итераций х сходится к обратному. Эта часть кажется достаточно простой … но я сталкиваюсь с некоторыми проблемами при попытке применить эту формулу к большим целым числам:

Проблема 1:

Потому что я работаю с целыми числами … ну … я не могу использовать дроби. Это, кажется, заставляет x всегда расходиться (делитель x0 * должен быть <2 похоже?). Моя интуиция говорит мне, что должна быть некоторая модификация уравнения, которая позволила бы ему работать целыми числами (с некоторой точностью), но я действительно изо всех сил пытаюсь выяснить, что это такое. (Моя нехватка математических навыков побеждает меня здесь …) Я думаю, что мне нужно найти какое-то эквивалентное уравнение, где вместо d есть д * [база ^ somePower]? Может ли быть какое-то уравнение, как (x1 = x0 (2 — x0 * d)) что работает с целыми числами?

Проблема 2:

Когда я использую формулу Ньютона, чтобы найти обратную величину некоторых чисел, в результате получается лишь небольшая фракция ниже того, каким должен быть ответ … напр. при попытке найти обратную величину 4 (в десятичной дроби):

x0 = 0.3
x1 = 0.24
x2 = 0.2496
x3 = 0.24999936
x4 = 0.2499999999983616
x5 = 0.24999999999999999999998926258176

Если бы я представлял числа в base-10, я бы хотел получить результат 25 (и помнить, чтобы сдвинуть произведение вправо на 2). С некоторыми взаимными ответами, такими как 1/3, вы можете просто обрезать результат, если знаете, что у вас достаточно точности. Но как я могу вытащить правильный ответ из приведенного выше результата?

Извините, если это слишком расплывчато или я прошу слишком много. Я просмотрел Википедию и все исследовательские работы, которые смог найти в Google, но чувствую, что бьюсь головой о стену. Я ценю любую помощь, которую кто-нибудь может мне дать!

…

Изменить: Получил алгоритм работает, хотя он намного медленнее, чем я ожидал. Я действительно потерял много скорости по сравнению со своим старым алгоритмом, даже для чисел с тысячами цифр … Я все еще что-то упускаю. Это не проблема с умножением, которое очень быстро. (Я действительно использую алгоритм Карацубы).

Для тех, кто заинтересован, вот моя текущая итерация алгоритма Ньютона-Рафсона:

bigint operator/(const bigint& lhs, const bigint& rhs) {
if (rhs == 0) throw overflow_error("Divide by zero exception");
bigint dividend = lhs;
bigint divisor = rhs;

bool negative = 0;
if (dividend < 0) {
negative = !negative;
dividend.invert();
}
if (divisor < 0) {
negative = !negative;
divisor.invert();
}

int k = dividend.numBits() + divisor.numBits();
bigint pow2 = 1;
pow2 <<= k + 1;

bigint x = dividend - divisor;
bigint lastx = 0;
bigint lastlastx = 0;
while (1) {
x = (x * (pow2 - x * divisor)) >> k;
if (x == lastx || x == lastlastx) break;
lastlastx = lastx;
lastx = x;
}
bigint quotient = dividend * x >> k;
if (dividend - (quotient * divisor) >= divisor) quotient++;
if (negative)quotient.invert();
return quotient;
}

А вот мой (действительно уродливый) старый алгоритм, который работает быстрее:

bigint operator/(const bigint& lhs, const bigint & rhs) {
if (rhs == 0) throw overflow_error("Divide by zero exception");
bigint dividend = lhs;
bigint divisor = rhs;

bool negative = 0;
if (dividend < 0) {
negative = !negative;
dividend.invert();
}
if (divisor < 0) {
negative = !negative;
divisor.invert();
}

bigint remainder = 0;
bigint quotient = 0;
while (dividend.value.size() > 0) {
remainder.value.insert(remainder.value.begin(), dividend.value.at(dividend.value.size() - 1));
remainder.value.push_back(0);
remainder.unPad();
dividend.value.pop_back();

if (divisor > remainder) {
quotient.value.push_back(0);
} else {
int count = 0;
int i = MSB;
bigint value = 0;
while (i > 0) {
bigint increase = divisor * i;
bigint next = value + increase;
if (next <= remainder) {
value = next;
count += i;
}
i >>= 1;
}
quotient.value.push_back(count);
remainder -= value;
}
}

for (int i = 0; i < quotient.value.size() / 2; i++) {
int swap = quotient.value.at(i);
quotient.value.at(i) = quotient.value.at((quotient.value.size() - 1) - i);
quotient.value.at(quotient.value.size() - 1 - i) = swap;
}

if (negative)quotient.invert();
quotient.unPad();
return quotient;
}