Наименьшие квадраты подходят по линии в полярном представлении
Я работаю на основе системы локализации роботов, и, честно говоря, я не уверен, что это математика или проблема реализации. Я пытаюсь подогнать линию к набору полярных координат, используя метод наименьших квадратов. Линия представлена в полярной форме. Мне дали два уравнения от нашего руководителя: одно для определения угла и одно для определения расстояния до начала координат. (см. изображение)
https://i.stack.imgur.com/jUEZ5.png
Я пытался реализовать уравнение в C ++.
struct Pt {
double d, angle;
};
// Polar coordinates of the points (-2, 1) and (5, 1) respectively.
std::vector<Pt> points = { { 2.2360679774997898, 2.6779450445889870 }, { 5.0990195135927845, 0.19739555984988075 } };
double a, r = 0;
double n = points.size();
double sumOfWeights = n;
double num1 = 0, num2 = 0, den1 = 0, den2 = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
double iP = points[i].d, iTheta = points[i].angle;
num1 += iP * iP * sin(2 * iTheta);
den1 += iP * iP * cos(2 * iTheta);
for (int j = 0; j < n; j++) {
double jP = points[j].d, jTheta = points[j].angle;
num2 += iP * jP * cos(iTheta) * sin(jTheta);
den2 += iP * jP * cos(iTheta + jTheta);
}
}
a = 0.5 * atan2((num1 - (2.0 / sumOfWeights) * num2), (den1 - (1.0 / sumOfWeights) * den2));
for (int i = 0; i < n; i++) r += points[i].d * cos(points[i].angle - a);
r /= sumOfWeights;
Затем я даю ему полярные представления точек (-2,1) и (5,1), и это приводит к углу 0 и расстоянию 1,5, что неверно, так как линия должна иметь угол pi / 2. а расстояние до начала 1, верно?
Решение
Я не вижу никаких проблем в вашем коде.
В вашем примере искомая линия имеет уравнение Y = 1
В моем понимании это соответствует углу, равному 0, а не пи / 2. Вы указали, что угол 0 — это то, что обеспечивает ваша программа.
Pi / 2 — это угол ближайшей точки линии к началу координат.
Тем не менее, существует проблема для расчета расстояния р. В дальнейшем я буду использовать сложные обозначения для облегчения анализа: 
.
За 
, Ваш расчет расстояния соответствует:
 $$. jpg "$$ r = \ frac {1} {N} \ Re (\ sum_i z_i e ^ {- a}) $$")
За = 0, это соответствует действительной части среднего балла, 1.5 действительно в вашем примере. Это то, что обеспечивает ваша программа.
Правильное значение 1 будет получено путем замены действительной части мнимой, то есть замены cos (.) На sin (.).
Однако я не могу гарантировать, что это будет работать во всех случаях. Я приглашаю вас проверить формулы в Интернете или у вашего руководителя. Извините, что не могу сделать лучше на данный момент.
Примечание: сложные обозначения также позволяют упростить вычисления. Вот пример, даже если я понимаю, что это не ваш приоритет в настоящее время:
 -5E2 $$. jpg "$$ 2 \ sum_i {\ sum_j {w_i w_j \ rho_i \ rho_j cos \ theta_i sin \ theta_j}} = \ Im (\ sum_i w_i z_i) ^ 2 $$")
Примечание: я не смог правильно отобразить уравнения Текса на первом этапе. Благодаря комментарию Боба я смог улучшить его. Все еще не идеально …
Другие решения
Других решений пока нет …