Интервал увеличения с мультиточностью
Я пытаюсь использовать арифметическую библиотеку интервала повышения вместе с библиотекой повышения точности. Если я использую стандартную двойную точность с собственным двойным типом данных, все работает нормально.
Вместе с библиотекой multiprecision она дает результаты, которые на самом деле являются более неточными. Вот некоторый код:
#include <boost\numeric\interval.hpp>
#include <boost\multiprecision\cpp_dec_float.hpp>
#include <iostream>
using namespace boost::numeric;
using namespace boost::numeric::interval_lib;
using namespace boost::multiprecision;
template <typename T>
using Interval = interval<T, policies<save_state<rounded_transc_exact<T>>, checking_base<T>>>;
using BigFloat = cpp_dec_float_100;
int main()
{
std::cout << sin(Interval<double>(0.0, 0.1)).upper() << "\n"; // 0.0998334
std::cout << sin(Interval<BigFloat>(0.0, 0.1)).upper() << "\n"; // 1
}
Как видно, double Версия дает очень точный результат. BigFloat версия должна быть еще более точной, однако она дает очень большую границу — на самом деле максимальное значение sin функция, так что эта граница совершенно бесполезна.
Как я могу исправить это так, чтобы библиотека интервалов фактически использовала преимущества более высокой точности и давала более четкие границы?
Решение
Для начала я проверил с cos вместо sin,
Библиотека интервалов реализует sin(x) как с точки зрения cos(x-½π), Это означает, что sin([0, 0.1]) превращается в cos([-½π,-½π+0.1]) (который возвращается в cos([½π,½π+0.1])).
В случае BigFloat и из-за библиотеки не знаю константы Пи (pi<BigFloat>(), pi_half<BigFloat>() или же pi_twice<BigFloat>()) он представляет их как целочисленные интервалы, например: pi_half<BigFloat> представляется как [1,2]. OOPS. интервалы cos стали [-2,-0.9] (возвращаясь в [0,3.1]¹).
Добавление некоторой трассировки:
DOUBLE--------------------
pi/2: [1.570796326794896558,1.57079632679489678]
sin: [0,0.10000000000000000555]
cos: [-1.57079632679489678,-1.4707963267948964692]
cos: [1.5707963267948961139,1.6707963267948979791]
[-5.0532154980743028885e-16,0.099833416646829500896]
BigFloat--------------------
pi/2: [1,2]
sin: [0,0.10000000000000000555]
cos: [-2,-0.89999999999999999445]
cos: [0,3.1000000000000000056]
[-1,1]
Решения?
Лучшее решение, которое я могу придумать, включает использование cos непосредственно или специализирующийся pi_half:
использование cos непосредственно
Это НЕ решение, потому что оно по-прежнему будет использовать некоторые из сломанных pi_*<BigFloat>() внутренние константы:
static BigFloat bf_pi_half() { return bmp::default_ops::get_constant_pi<BigFloat::backend_type>() / BigFloat(2); }
Теперь вы можете написать
std::cout << "BigFloat--------------------\n";
std::cout << cos(ival - bf_pi_half()) << "\n";
печать
BigFloat--------------------
[-0.909297,0.818277]
Как видите, это не желаемый результат.
Специализированные константы
На самом деле, вы должны специализировать основные константы:
#include <iostream>
#include <boost/multiprecision/cpp_dec_float.hpp>
#include <boost/multiprecision/detail/default_ops.hpp>
#include <boost/numeric/interval.hpp>
#include <boost/numeric/interval/io.hpp>
namespace bn = boost::numeric;
namespace bni = bn::interval_lib;
namespace bmp = boost::multiprecision;
template <typename T>
using Interval = bn::interval<T, bni::policies<bni::save_state<bni::rounded_transc_exact<T>>, bni::checking_base<T>>>;
using BigFloat = bmp::cpp_dec_float_100; // bmp::number<bmp::backends::cpp_dec_float<100>, bmp::et_off>;
static BigFloat bf_pi() { return bmp::default_ops::get_constant_pi<BigFloat::backend_type>(); }
namespace boost { namespace numeric { namespace interval_lib { namespace constants {
template<> inline BigFloat pi_lower<BigFloat>() { return bf_pi(); }
template<> inline BigFloat pi_upper<BigFloat>() { return bf_pi(); }
template<> inline BigFloat pi_twice_lower<BigFloat>() { return bf_pi() * 2; }
template<> inline BigFloat pi_twice_upper<BigFloat>() { return bf_pi() * 2; }
template<> inline BigFloat pi_half_lower<BigFloat>() { return bf_pi() / 2; }
template<> inline BigFloat pi_half_upper<BigFloat>() { return bf_pi() / 2; }
} } } }
int main() {
std::cout << sin(Interval<BigFloat>(0, 0.1)) << "\n";
}
Это печатает:
[0,0.0998334]
Actually это на самом деле использует pi_twice<> постоянная
Другие решения
Других решений пока нет …